函数方程

在小学我们就学过简单的代数方程，其定义是含有未知数的等式。在求解很多更复杂的数学物理问题时，通常还会涉及到另一类等式，它们含有未知函数，这样的等式叫作函数方程。例如微分方程、积分方程就属于函数方程。但还有一类比较特殊的函数方程不涉及微分和积分运算，通常在不明确说明的情况下，函数方程就是指的这类方程。

大家可能对函数方程并不陌生，例如高中数学题中经常会出现抽象函数相关的题，其实题中的抽象函数就是用函数方程定义的。

例如，定义在R上的连续函数f满足

求f的表达式。

柯西函数方程与求解的柯西法

跟代数方程一样，函数方程的主要问题也是求解。就上述函数方程的求解而言，首先可以推导出

即对于任意正整数n，有

将上式中的x换位成x/n就可以得到

因此对于任意的正整数m和n，有

当方程中的x和y的值都为零时，有

从而有

再令y=-x，根据题中方程可得

从而有

特别地，当x=1时，有

这样就得到了自变量为有理数时，函数f的表达式。

当自变量为无理数q时，由于无理数可以表示为无限不循环小数，若令q_i为q截断第i位小数后剩下的有理数部分，那么q就是数列{q_i}的极限，即

由函数f连续可知

综上所述，函数f的表达式，即函数方程的解为

此处f(1)可以为任意常数，将其值记为c，那么就有

即函数f是一个正比例函数。

事实上，若将题目中的连续换成单调，同样可以得出上述结论。

以上求解函数方程的方法最先由柯西(柯西不等式与不确定关系)提出，因此叫作柯西法，题目中的方程也叫作柯西方程。用柯西法还可以解很多函数方程，例如

在局部的连续性或单调性假设下，它们的解分别为指数函数、对数函数、幂函数。当然函数方程还有很多其他的解法，如待定系数法、迭代法。

函数方程的应用

利用函数方程可以很巧妙地解决一些问题，例如证明牛顿二项式定理、证明欧拉恒等式。此外，利用函数方程还可以对函数给出公理化的定义，例如本文中的题目就可以看成是对正比例函数的公理化定义。公理化方法尤其适合超越函数的定义，例如Γ函数，这比传统的定义在形式上往往简单很多。

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