测地线最常见的定义是曲面上连接两点之间的最短曲线（两点之间的最短路径），这个说法大概是从“平面上两点之间直线（线段）最短”推广而来的，因为“测地线”确实是“直线”这个概念的推广，测地线在一般的曲面上的意义类似于直线对于平面的意义。

  然而从“直线”到“测地线”的推广，并不是所有的性质都仍然能保持成立，比如“平面上两点之间有且只有一条直线”，这个唯一的性质对测地线来就不再成立，曲面上任意两点之间可能存在不只一条测地线，甚至可能存在无数多条测地线。比如球面上的南极点和北极点，连接这两点之间有无数条经线，即无数条测地线（不一定非要南极点和北极点，球面上任意一个大圆的直径的两个端点，都有这种性质。这样的两点称为对径点(antipodal points)。）（另外，球面上的测地线是球面上的大圆的圆弧，平面上的测地线是直线，这都是常识，稍后我会给出一个证明概要）。

  同样的“测地线是曲面上连接两点之间的最短曲线”这个说法其实也是不准确的，这个说法只是必要条件，并不是充分条件。也就是说，曲面上两点之间如果存在最短路径，则这个最短路径一定是测地线；反之曲面上两点之间的测地线，不一定是最短路径。

  比如，球面上任意两个点，连接这两个点的大圆圆弧其实有两段，若这两个点不是对径点，那么这两段圆弧的长度不一样，如图所示。这两段圆弧都是测地线，但显然图中蓝色那段长的圆弧不是最短路径。

  另外曲面上两点之间也可能不存在最短路径。比如令α是一个平面，A和B是α上任意两点，那么A和B之间的最短路径就是线段AB。令C是线段AB上任意一点，把C从平面α上挖掉，α挖掉C后仍然是一个曲面，记为α＇，α＇上A,B两点之间没有最短路径，因为线段AB不在α＇上（点C不在α＇上）。α＇上连接A点和B点的曲线越“靠近”线段AB长度越短，但始终大于线段AB的长度，所以α＇上连接A点和B点的曲线的长度没有下界。

  总之，“测地线是曲面上连接两点之间的最短曲线”这个说法并不准确，只有把两个点限制在足够小的邻域内（这样可以避免上述各种情况），才能说连接这两点的最短曲线是测地线。

  接下来我们来求测地线的方程。

引入上节说过的Christoffel 符号，代入上面的测地线方程并经过整理，可以得到测地线方程的标准形式：

  测地线方程也可以通过测地曲率来求。

令κ_g=0上式就是测地线方程。

由测地线方程我们可以求出曲面的测地线。

  对于任意的曲面，我们求出曲面的E,F,G，再把它们代入测地线方程，可以得到两个二价偏微分方程，解出这两个偏微分方程即可求出曲面的测地线。但在一般情况下，解偏微分方程是十分困难的，所以在大多数情况下，求曲面的测地线是十分困难的。

  比如对于球面，我们要求球面的测地线，为了方便我们讨论的是中心在原点的单位球面，其方程为(cosθcosφ,cosθsinφ,sinθ)，参数θ和φ的分别就是纬度和经度，如图所示。可以求出其第一基本型是dθ²＋cos²θdφ²，即E=1，F=0，G=cos²θ。

  但上面只是证明了经线都是测地线，并没有找出球面上所有的测地线。如果要找出球面上所有的测地线，就需要解出上面的偏微分方程，这就需要经过一些变量代换和积分运算。通过一些技巧性的计算后，最终可以得到一个由θ,φ和某些常数组成的方程（不包含θ,φ的偏导数），而这个方程其实是过原点的平面的方程，这表明球面上的测地线，都是过原点的平面与球面的交线。而过原点的平面与球面的交线就是球面上的大圆，因此有：一条曲线是球面上的测地线，当且仅当这条曲线是球面上的大圆（的圆弧）。（具体计算过程繁琐略过，感兴趣的看参考文献【1】p222.）

  由测地线方程可以看出，测地线可以由E,F,G及其一价导数，以及参数u,v的一、二价导数表示。我们知道，等距变换保持E,F,G不变，（u,v关于弧长s的一、二价导数是曲面固有性质也在等距变换下保持不变，）因此测地线方程（以及测地曲率）在等距变换下保持不变。

  也就是说，若T是一个等距变换，曲面S在T作用下被变成S＇，那么S上的测地线在T的作用下会被变成S＇上的测地线。

  通过等距变换，我们可以由一些较简单的曲面的测地线，求出较复杂的曲面的测地线。

  比如对于（单位）圆柱面(x=cos(u),y=sin(u),z=v)，参数意义如图所示。我们要求它的测地线。

  圆柱面可以由平面通过等距变换得来（因为圆柱面与平面的第一基本型相同）。我们可以把平面内一个矩形“卷”一圈，使得矩形的两条对边重合（图中线段AB是其中一条），这样得到一个圆柱面，如图所示。

  我们知道平面上的测地线都是直线，于是矩形内的直线在这个等距变换下的像就是圆柱面的测地线。比如图中的线段AB和垂直于AB的线段，分别被变换成圆柱面上，平行于z轴的母线AB，以及由垂直于z轴的平面与圆柱面的交线（圆）。它们都是圆柱面的测地线。不只这些还有更复杂的。

  矩形的对角线也是直线，它们在变换下的像也是测地线，如图所示。由于矩形的两条对边在变换后重合，所以对角线（红色那条线段）被变成圆柱面上连接AB两点的螺旋线，它也是圆柱面上的测地线。

  圆柱面上连接AB两点的螺旋线不只一条。我们也可以通过对另一个矩形做等距变换来得到圆柱面，这个矩形的两条邻边与原来的矩形一样，另两条邻边是原来的m倍长，把这个矩形“卷”m圈后使得线段AB重合而得到圆柱面。如图所示，矩形的对角线AB经过变换后变成了圆柱面上连接AB两点的绕了m圈的螺旋线。对于每一个正整数m，都有一条连接AB的螺旋线，每一条都是测地线。（由此也可看出，圆柱面上位于同一条母线上的两个点之间，存在无数条测地线。）

  更精确的，u-v平面上任意（不平行于v轴的）直线，其方程为v=mu+c，在上述等距变换下的像，是圆柱面上的曲线(cos(u),sin(u),mu+c)。因此圆柱面上的测地线就是所有方程形如γ=(cos(u),sin(u),mu+c)的螺旋线，以及圆柱面的母线。（m=0时γ=(cos(u),sin(u),c)就是垂直于母线的圆。）

  测地线还有一个重要的性质：

任意给定曲面上一个点，过这个点沿着任意一个方向，都有唯一一条测地线。

（这个性质的证明需要用到微分方程的解的理论，略过。）

  根据这个性质，我们可以在曲面上建立以测地线为坐标轴的坐标系。

  在曲面上任取一条曲线γ，对于γ上任意一点，过该点沿着与γ（在该点的切向量）垂直的方向，有一条测地线。于是对于γ上每一个点，都有一条测地线与γ垂直。我们以这些测地线为u-曲线（v=常数），再作与这些测地线都垂直的曲线（γ是其中一条），以这些垂直于测地线的曲线为v-曲线（u=常数，我们可以令曲线γ为u=0），以此构成一个u-v坐标系，如图所示。

参考文献

【1】Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry.

【2】梅向明，黄敬之 编，微分几何（第三版）。

【3】Dirk J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Second Edition.

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