维度和空间弯曲既是数学家和物理学家喜欢关注的问题，也是科幻小说和电影中经久不衰的题材，例如《平面国》、《三体》中都有相关内容。关于空间弯曲，有一个非常有意思的问题，那就是生活在某一纬度的空间中的生物怎么判断它所在的空间是平直的还是弯曲的？举举个例子，生活在球面上的扁平生物怎么知道它所在的空间是个曲面。其实这个问题有明确的现实意义。因为地球表面就是个球面，虽然地面局部有较小的起伏，但至少海面还是比较接近光滑曲面。地球是球形的这个观点已经得到很多证据的支持，其中最有力的证据的就是从太空的观察结果。事实上，仅仅通过地球表面这个二维平面内的实验也可以得到支持地球表面是曲面的证据，例如麦哲伦的环球航行。

那么不受曲面外的任何作用的一般曲面内的生物能否通过曲面内的测量得知它所在曲面是否是弯曲的呢？根据对“弯曲”的定义的不同，这个问题可分两种情况来回答。

第一种情况 对弯曲的定义是高斯曲率为零，也就是说能通过等距变换变换到平面的曲面就是平直的，不能变换到平面的曲面就是弯曲的，因此曲面是否弯曲与它在三维空间中的嵌入方式无关。例如柱面和锥面就是平直的，因为它们能展开成平面，只是与平面在三维空间中的嵌入方式不同而已，而球面就是弯曲的。内蕴几何研究的问题都与嵌入方式无关。

这种情况下，完全可以通过曲面内的测量判断曲面是否是弯曲的。因为高斯曲率只与曲面的第一类基本量有关，若在曲面上建立正交坐标网，高斯曲率可以用曲面的第一类基本量表示为

第二种情况 对弯曲的定义是主曲率为零或法曲率为零，也就是说曲面是否弯曲与它在三维空间中的嵌入方式有关。例如柱面和锥面都是弯曲的。

显然第一种情况下的弯曲曲面在这种定义下仍然是弯曲的，但第一种情况下的平直曲面在这种情况下却不一定是平直的。也就是说通过在曲面内的测量计算出高斯曲率不为零时可以肯定曲面是弯曲的，高斯曲率为零时则不能判断曲面是弯曲的还是平直的。

当然，上述两种情况下的结论也可以推广到高维空间。

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